1.1.2 进制转换
📝 学习目标
- 掌握各种进制转换的基本方法
- 熟练进行二、八、十、十六进制互转
- 理解小数部分的进制转换
- 掌握快速转换技巧
🎯 转换方法总览
转换关系图
下面给出一个可视化的转换关系图（SVG）：
🔢 十进制转其他进制
整数部分转换（除基取余法）
原理：连续除以目标进制的基数，取余数，直到商为0
步骤：
- 用十进制数除以目标基数
- 记录余数
- 用商继续除以目标基数
- 重复直到商为0
- 余数倒序排列即为结果
示例1：十进制 156 → 二进制
156 ÷ 2 = 78 ... 0
78 ÷ 2 = 39 ... 0
39 ÷ 2 = 19 ... 1
19 ÷ 2 = 9 ... 1
9 ÷ 2 = 4 ... 1
4 ÷ 2 = 2 ... 0
2 ÷ 2 = 1 ... 0
1 ÷ 2 = 0 ... 1
结果：10011100₂示例2：十进制 156 → 十六进制
156 ÷ 16 = 9 ... 12 (C)
9 ÷ 16 = 0 ... 9
结果：9C₁₆小数部分转换（乘基取整法）
原理：连续乘以目标进制的基数，取整数部分
示例：十进制 0.625 → 二进制
0.625 × 2 = 1.25 → 取整数 1
0.25 × 2 = 0.5 → 取整数 0
0.5 × 2 = 1.0 → 取整数 1
结果：0.101₂🔄 其他进制转十进制
位权展开法
原理：按位权展开，各位数字乘以对应位权后相加
示例1：二进制 10011100₂ → 十进制
1×2⁷ + 0×2⁶ + 0×2⁵ + 1×2⁴ + 1×2³ + 1×2² + 0×2¹ + 0×2⁰
= 128 + 0 + 0 + 16 + 8 + 4 + 0 + 0
= 156₁₀示例2：十六进制 9C₁₆ → 十进制
9×16¹ + C×16⁰
= 9×16 + 12×1
= 144 + 12
= 156₁₀⚡ 快速转换技巧
二进制 ↔ 八进制
原理：3位二进制 = 1位八进制（2³ = 8）
二进制 → 八进制：
10011100₂ = 010|011|100₂ = 2|3|4₈ = 234₈八进制 → 二进制：
234₈ = 2|3|4₈ = 010|011|100₂ = 10011100₂二进制 ↔ 十六进制
原理：4位二进制 = 1位十六进制（2⁴ = 16）
二进制 → 十六进制：
10011100₂ = 1001|1100₂ = 9|C₁₆ = 9C₁₆十六进制 → 二进制：
9C₁₆ = 9|C₁₆ = 1001|1100₂ = 10011100₂八进制 ↔ 十六进制
方法：通过二进制中转
234₈ → 10011100₂ → 9C₁₆📊 进制对照表
数字对照
| 十进制 | 二进制 | 八进制 | 十六进制 |
|---|---|---|---|
| 0 | 0000 | 0 | 0 |
| 1 | 0001 | 1 | 1 |
| 2 | 0010 | 2 | 2 |
| 3 | 0011 | 3 | 3 |
| 4 | 0100 | 4 | 4 |
| 5 | 0101 | 5 | 5 |
| 6 | 0110 | 6 | 6 |
| 7 | 0111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E |
| 15 | 1111 | 17 | F |
十六进制字母
| 字母 | 数值 | 二进制 |
|---|---|---|
| A | 10 | 1010 |
| B | 11 | 1011 |
| C | 12 | 1100 |
| D | 13 | 1101 |
| E | 14 | 1110 |
| F | 15 | 1111 |
🧮 实战练习
基础练习
下面练习按照“真实考试”方式来做：先提交答案，再查看解析。
1) 25(10) → 二进制
将 25(10) 转换为二进制。
2) 25(10) → 八进制
将 25(10) 转换为八进制。
3) 25(10) → 十六进制
将 25(10) 转换为十六进制。
4) 11001(2) → 十进制
将 11001(2) 转换为十进制。
5) 37(8) → 十进制
将 37(8) 转换为十进制。
6) 1F(16) → 十进制
将 1F(16) 转换为十进制。
7) 11010110(2) → 八进制
将 11010110(2) 转换为八进制。
8) 11010110(2) → 十六进制
将 11010110(2) 转换为十六进制。
9) 326(8) → 十六进制
将 326(8) 转换为十六进制。
💡 解题技巧
考试常见题型
直接转换题
- 给定一个数，要求转换为其他进制
- 技巧：熟记转换方法，注意计算准确性
混合运算题
- 不同进制数的加减运算
- 技巧：统一转换为十进制计算，再转回目标进制
应用题
- 结合实际场景的进制转换
- 技巧：理解题意，识别需要转换的数据
常见错误
- 余数顺序错误：除基取余法要倒序排列
- 位数不够：二进制转八/十六进制时要补足位数
- 字母大小写：十六进制字母通常用大写
- 小数转换：乘基取整法容易出错
🔍 深入理解
为什么这些转换方法有效？
- 除基取余法：基于进制的定义，每一位都是基数的幂次
- 位权展开法：直接应用进制的数学定义
- 分组转换：利用2的幂次关系（2³=8, 2⁴=16）
计算机中的应用
- 内存地址：通常用十六进制表示
- 文件权限：Unix系统用八进制表示
- 颜色值：RGB颜色用十六进制表示
- 网络地址：IP地址各段是十进制，但内部是二进制
📚 本课小结
转换方法：
- 十进制转其他：除基取余法（整数）、乘基取整法（小数）
- 其他转十进制：位权展开法
快速技巧：
- 二进制 ↔ 八进制：3位一组
- 二进制 ↔ 十六进制：4位一组
注意事项：
- 余数倒序排列
- 补足分组位数
- 字母大小写规范
💪 课后作业
- 完成课后练习题的所有计算
- 熟记0-15的各进制对照表
- 练习快速转换技巧，提高计算速度