1.1.4 浮点数表示
📝 学习目标
- 掌握浮点数表示格式：
尾数 × 基数^阶码 - 分清“阶码决定范围、尾数决定精度”的考点
- 理解浮点数加减的基本流程：对阶 → 尾数运算 → 规格化（格式化）
- 会按题干给定的位宽/码制估算可表示范围
🎯 核心结构（课堂口径）
浮点数一般写成：
R：基数（二进制中 R=2，不需要存储）E：阶码（指数，常用移码表示，便于比较）M：尾数（有效数字，常用补码/原码表示）
课堂强调：软设主要考“结构与意义、对阶逻辑”，不太考真正算出完整加法结果。
✅ 必背结论
- 阶码位数越多 → 表示范围越大
- 尾数位数越多 → 有效精度越高
记忆法：
- 阶码像“放大镜倍数”（能放到多大/缩到多小）
- 尾数像“刻度精细度”（能精确到多少位）
🧠 浮点加减：对阶逻辑（软设高频）
1) 为什么要对阶
两个数阶码不同，不能直接“尾数+尾数”。必须先把它们变成同一指数。
2) 对阶规则（课堂原话提炼）
- 小数向大数看齐（把小的阶码调到大的阶码）
- 阶码增大时，为保持数值不变：尾数要相应右移
- 有符号尾数右移要保持符号位：算术右移
3) 三步流程
- 对阶：让两个阶码相等（通常把小阶码增大）
- 尾数运算：同阶后再做尾数加/减
- 规格化（格式化）：把尾数调整到规定范围（常见要求：二进制尾数绝对值落在 [0.5, 1)）
🔑 关键词解释
- 阶符/数符：一些题型会把阶码符号位（阶符）和尾数符号位（数符）单独列出来。
- 对阶：让阶码一致。
- 算术右移：右移时高位补符号位（保持正负不变）。
- 规格化：调整尾数，使其满足“有效位位置”约定。
🔍 联想扩展（考试内容延伸）
1) IEEE 754（软设一般只考概念）
- 单精度：1位符号 + 8位指数 + 23位尾数
- 指数用偏置（移码思想）：bias=127
- 指数越大，表示范围越大；尾数越长，精度越高
2) “移码”的常见偏置值
- 若指数位数为 k（不含单独阶符的题型），常见 bias = 2(k-1) - 1
注意：软设范围题常“按题干给的位段”直接套补码/移码范围，不要想当然用 IEEE754。
🧪 例题（按难度）
简单（3题）
例题1（概念题：范围/精度）
浮点数能表示的数值范围主要由（ ）决定；能表示的有效精度主要由（ ）决定。
对阶时若将某个浮点数的阶码增大（指数变大），为了保持数值不变，其尾数应如何变化？
浮点数加/减运算的一般流程是：
中级（3题）
例题2（对阶规则）
以下关于两个浮点数相加的叙述中，正确的是：
两浮点数相加前需对阶：若 `E1=10`、`E2=7`，按“小数向大数看齐”的规则，需要把阶码较小的那个数的尾数右移多少位？
IEEE 754 单精度浮点数的指数采用偏置（移码思想）表示，其偏置值（bias）是：
困难（1题）
例题3（范围题：按题干位段推范围，课堂例题风格）
设 16 位浮点数格式为：阶符 1 位、阶码 6 位、数符 1 位、尾数 8 位。
- 阶码（指数部分）用 移码 表示（此处按题干：指数总位数=阶符+阶码=7 位）
- 尾数（纯小数）用 补码 表示（数符+尾数=9 位定点小数）
问：该浮点数可表示的数值范围（近似写法）最合理的是：
选择最合理的范围表达式：
📚 本课小结
- 浮点数：
尾数×基数^阶码 - 阶码位数决定范围；尾数位数决定精度
- 加减流程：对阶（小数向大数看齐）→ 尾数运算 → 规格化