软考笔记

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难度中等（★★）
建议时长120分钟
本课难点
  • 校验位个数公式 2r >= m+r+1 的最小 r 求解（试值法）
  • 校验位位置 1/2/4/8/... 与 1-based 位序的习惯
  • 位序转二进制分解（哪些位为1就参与哪些 Px）用于找规律解题

1.2.4 海明校验码 ​

本课核心知识点手绘速记（SVG）

📝 学习目标 ​

  • 熟练计算海明校验位个数 r
  • 记住校验位插入位置：1、2、4、8、16...（2 的幂次）
  • 能用“位序二进制分解”判断某数据位由哪些校验位参与校验
  • 理解海明码“既可检错也可纠错”的原因：可定位错误位

🎯 知识点 ​

1) 海明码的特点（课堂结论） ​

  • 三种常见校验里：
    • 奇偶校验：可检错，不可纠错
    • CRC：可检错（强），一般不可纠错
    • 海明码：既可检错也可纠错（常考最高频）

海明码本质：多组交叉的奇偶校验。

2) 校验位个数 r 的求法（必考公式） ​

设信息位个数为 m，需要校验位个数为 r，则需满足：

2r≥m+r+1

做题方法：从 r=1 开始试，取满足不等式的最小 r。

课堂例：m=32

  • r=5：25=32，不够（右侧是 32+5+1=38）
  • r=6：26=64，满足 → r=6

3) 校验位放在哪些位置 ​

校验位放在位序为 2 的幂次的位置：

  • P1 在第 1 位
  • P2 在第 2 位
  • P4 在第 4 位
  • P8 在第 8 位
  • ...

其它位置按顺序填入数据位 D。

课堂强调：海明码不是“把校验位拼在后面”，而是插入在数据位中间。

4) 哪些校验位校验某个数据位（找规律核心） ​

把位序 i 写成二进制：

  • 哪一位是 1，就说明该位参与对应的校验位 Px。

例：第 10 位

  • 10(10) = 1010(2) = 8 + 2
  • 参与校验：P8、P2

例：第 14 位

  • 14(10) = 1110(2) = 8 + 4 + 2
  • 参与校验：P8、P4、P2

这也是课堂说的“不会编码也能靠找规律解题”。

🧠 难点与易错点 ​

  • 易错1：公式写错（常把 m+r+1 写成 m+1）
  • 易错2：校验位位置混淆（必须是 1/2/4/8/16...）
  • 易错3：判断参与校验时，不会把位序拆成 2 的幂次

🔑 关键词解释 ​

  • 位序（position index）：从 1 开始编号（海明码题常用 1-based）。
  • 综合校验（syndrome）：各校验组结果组合起来形成的二进制数，指示错误位位置。

🔍 联想扩展（软设关联） ​

  • 海明码通常默认能纠正 1 位错（SEC: Single Error Correction）。
  • 题干若提“检错纠错能力”，要想起码距与能力关系。
  • 软设题经常把“求 r”与“找某数据位由哪些校验位校验”组合在一起。

🧪 例题（按难度） ​

简单（3题） ​

单选
海明码中校验位的典型插入位置规律是：
单选
对 8 位数据采用海明码，至少需要多少位校验位 r？
单选
在位序从 1 开始的海明码中，第 14 位参与哪些校验位的校验？

中级（3题） ​

例题1（求校验位个数） ​

对 32 位数据采用海明码，至少需要增加多少位校验位？

单选
选择至少需要的校验位个数：

例题2（找规律：某位由哪些校验位校验） ​

某海明码位序从 1 开始计数，问第 10 位数据位参与哪些校验位的校验？

单选
选择参与校验的校验位：

例题3（概念题） ​

下列关于海明码的叙述正确的是：

单选
选择正确叙述：

困难（1题） ​

单选
海明码在接收端计算得到综合校验（syndrome）为 `0110`（二进制）。若采用 1-based 位序，则错误位最可能在：

📚 本课小结 ​

  • r 的求法：2r >= m+r+1（取最小 r）
  • 校验位位置：1/2/4/8/16...
  • 位序二进制分解：决定参与哪些校验组