1.1.2 进制转换

本课核心知识点整理

本节导学：进制转换不是孤立考点，而是后续计算题的工具

课程里讲得很明确：进制转换在软考中很少单独拿出来考，但它会藏在主存编址、IP 地址与子网、机器数读值这些题里。你看到的是地址、掩码、补码、容量，底层做的往往还是二进制、十进制、十六进制之间的切换。

进制的直觉可以从“逢几进一”理解：十进制逢十进一，二进制逢二进一，七天一个星期也可以类比成“逢七进一”。区别只是基数不同，位权不同。

1. 数码、基数、位权：所有转换的共同底层

概念	含义	十进制例子	二进制例子
数码	某一位允许出现的符号	0 到 9	0、1
基数	一共多少个数码，逢几进一	$10$	$2$
位权	某一位的权值	个位 ${10}^0$，十位 ${10}^1$	低位 $2^0$，再往左 $2^1,2^2$

一个 $r$ 进制数的本质是位权展开：

$$(a_n\dots a_1{a}_0{)}_r=\sum _{i=0}^n{a}_i{r}^i$$

小数点右侧的位权变成负次幂：

$$(0.a_1{a}_2\dots {)}_r=a_1{r}^{-1}+a_2{r}^{-2}+\cdots$$

这两个公式解释了所有转换方法：非十进制转十进制是“按位权求和”，十进制转其他进制是“反过来拆出每一位数码”。

2. 常见进制标记

写法	含义	备注
1010B、1010(2)	二进制	B 来自 binary
17(8)	八进制	数码只能是 0 到 7
3A7H、3A7(16)	十六进制	A-F 表示 10-15
无特殊标记	通常按十进制	题目另有说明时按题意

十六进制在计算机里很常见，因为 $16=2^4$，一位十六进制正好压缩 4 位二进制。例如 F3H 就是 1111 0011B。

3. 非十进制转十进制：位权展开法

把任意进制转十进制，步骤只有一个：每一位数码乘以对应位权，再求和。

例 1：把 11001B 转成十进制。

$$\begin{array}{rl}{11001}_2& =1\times 2^4+1\times 2^3+0\times 2^2+0\times 2^1+1\times 2^0\\ & =16+8+1\\ & =25\end{array}$$

例 2：把 1FH 转成十进制。

$$1F_{16}=1\times {16}^1+15\times {16}^0=31$$

小数也一样，例如：

$${101.01}_2=1\times 2^2+0\times 2^1+1\times 2^0+0\times 2^{-1}+1\times 2^{-2}=5.25$$

4. 十进制整数转其他进制：除基取余，逆序写

十进制整数转 $r$ 进制，用除基取余法。每次除以 $r$ 得到的余数，就是当前最低位；所以最后要把余数倒过来写。

例：把 ${25}_{10}$ 转成二进制。

25 / 2 = 12 ... 1
12 / 2 = 6  ... 0
6  / 2 = 3  ... 0
3  / 2 = 1  ... 1
1  / 2 = 0  ... 1

余数从下往上读：

$${25}_{10}={11001}_2$$

例：把 ${94}_{10}$ 转成十六进制。

94 / 16 = 5 ... 14
5  / 16 = 0 ... 5

$14$ 在十六进制中写作 E，所以：

$${94}_{10}=5E_{16}$$

5. 十进制小数转其他进制：乘基取整，顺序写

十进制小数转 $r$ 进制，用乘基取整法。每次乘以 $r$，整数部分就是下一位小数，按出现顺序写。

例：把 ${0.625}_{10}$ 转成二进制。

0.625 * 2 = 1.25  -> 取 1
0.25  * 2 = 0.5   -> 取 0
0.5   * 2 = 1.0   -> 取 1

所以：

$${0.625}_{10}={0.101}_2$$

如果小数部分一直不能变成 0，就说明目标进制下不能有限表示，题目通常会要求保留若干位。这和浮点数里的“有限位数只能近似表示部分实数”是同一类问题。

6. 二进制与八/十六进制：分组转换最快

二进制和八进制、十六进制之间不用每次都转十进制，可以直接分组：

转换	分组依据	原因
二进制 ↔ 八进制	3 位一组	$2^3=8$
二进制 ↔ 十六进制	4 位一组	$2^4=16$

从小数点开始，整数部分向左分组，小数部分向右分组，不足补 0。

11010110B = 1101 0110 = D6H
11010110B = 011 010 110 = 326(8)
1FH       = 0001 1111B

7. 技术取舍：为什么十六进制没有替代二进制

表示方式	优点	局限	角色
二进制	硬件最容易实现，和电路状态直接对应	人读写长串二进制很费力	机器内部实际基础
十进制	人最熟悉，适合日常计算	不适合直接映射硬件两态	题目输入输出、人类阅读
十六进制	和二进制换算极快，表示更短	仍只是书写形式，硬件底层不是十六进制	地址、机器码、内存内容的简写

所以十六进制不是新硬件表示替代二进制，而是人和机器之间更友好的阅读层。

8. 易错点

易错点	正确处理
除基取余后顺序写反	余数从下往上读
乘基取整后顺序写反	整数部分按出现顺序读
小数位权写错	小数点右侧第一位是 $r^{-1}$
分组从最左边随便切	必须从小数点开始向两侧分组
十六进制字母忘记数值	A-F 分别是 $10-15$

🧪 例题（按难度）

基础练习

下面练习按照“真实考试”方式来做：先提交答案，再查看解析。

1) 25(10) → 二进制

填空

将 25(10) 转换为二进制。

2) 25(10) → 八进制

填空

将 25(10) 转换为八进制。

3) 25(10) → 十六进制

填空

将 25(10) 转换为十六进制。

4) 11001(2) → 十进制

填空

将 11001(2) 转换为十进制。

5) 37(8) → 十进制

填空

将 37(8) 转换为十进制。

6) 1F(16) → 十进制

填空

将 1F(16) 转换为十进制。

7) 11010110(2) → 八进制

填空

将 11010110(2) 转换为八进制。

8) 11010110(2) → 十六进制

填空

将 11010110(2) 转换为十六进制。

9) 326(8) → 十六进制

填空

将 326(8) 转换为十六进制。

💡 解题技巧

考试常见题型

1. 直接转换题

   • 给定一个数，要求转换为其他进制
   • 技巧：熟记转换方法，注意计算准确性

2. 混合运算题

   • 不同进制数的加减运算
   • 技巧：统一转换为十进制计算，再转回目标进制

3. 应用题

   • 结合实际场景的进制转换
   • 技巧：理解题意，识别需要转换的数据

常见错误

1. 余数顺序错误：除基取余法要倒序排列
2. 位数不够：二进制转八/十六进制时要补足位数
3. 字母大小写：十六进制字母通常用大写
4. 小数转换：乘基取整法容易出错

🔍 知识扩展

为什么这些转换方法有效？

1. 除基取余法：基于进制的定义，每一位都是基数的幂次
2. 位权展开法：直接应用进制的数学定义
3. 分组转换：利用2的幂次关系（2³=8, 2⁴=16）

计算机中的应用

1. 内存地址：通常用十六进制表示
2. 文件权限：Unix系统用八进制表示
3. 颜色值：RGB颜色用十六进制表示
4. 网络地址：IP地址各段是十进制，但内部是二进制

📚 本课小结

1. 转换方法：

   • 十进制转其他：除基取余法（整数）、乘基取整法（小数）
   • 其他转十进制：位权展开法

2. 快速技巧：

   • 二进制 ↔ 八进制：3位一组
   • 二进制 ↔ 十六进制：4位一组

3. 注意事项：

   • 余数倒序排列
   • 补足分组位数
   • 字母大小写规范

---

💪 课后作业

1. 完成课后练习题的所有计算
2. 熟记0-15的各进制对照表
3. 练习快速转换技巧，提高计算速度