1.1.3 码制

本课核心知识点整理

本节导学：码制是在解决“二进制如何表达正负并参与运算”

学十进制时，+7、-7 的正负号可以直接写在数字前面；到了计算机内部，所有信息都必须落到固定长度的 0/1 序列里。码制这一节的核心不是背四个名词，而是看清一条技术演进线：

软考题通常不要求推导硬件电路，但会反复考三件事：给一个码能不能读出真值，给一个字长能不能算表示范围，给一个应用场景能不能判断为什么要用这种码。

1. 机器数、真值与符号位

人的数学表达叫真值，比如 +13、-13。计算机里保存的固定二进制串叫机器数。机器数的最高位通常承担符号功能：0 表示正，1 表示负。

这里要特别注意“数值相关位”这个说法。对原码来说，它就是绝对值；对反码、补码来说，它已经参与编码规则，不能再直接当作绝对值读。

2. 四种码制的技术取舍

码制	正数规则	负数规则	主要优点	为什么不够好或为什么被采用
原码	符号位为 0，数值位写绝对值	符号位为 1，数值位写绝对值	直观，人与机器都容易读	+0 和 -0 重复；加减法不能直接统一到加法器
反码	与原码相同	符号位不变，数值位按位取反	比原码更接近补码运算思想	仍有 +0 和 -0；加法出现最高进位时还要“回卷”处理
补码	与原码相同	反码加 1	加法器可以统一处理加法和减法；0 唯一；编码数量用满	人读负数不如原码直观，但硬件实现更划算，所以成为整数运算主流
移码	真值整体加偏置，或在软考常见口径下“补码符号位取反”	同左	编码顺序更便于比较大小	主要适合阶码、偏置指数等场景，不是整数加减运算的主力

这张表要按“为什么会替代”来记：原码输在运算，反码输在仍有两个 0，补码赢在硬件统一性，移码赢在比较便利性。

3. 用 -7 把转换链走一遍

8 位机器数中，+7 的二进制绝对值是 0000111。写成带符号的 8 位机器数时：

真值：-7

原码：10000111    最高位 1 表示负，其余位 0000111 表示绝对值 7
反码：11111000    符号位不动，数值位 0000111 逐位取反
补码：11111001    反码基础上加 1
移码：01111001    常见软考口径：补码符号位取反

正数在原码、反码、补码下形式相同，这是很多题的快捷入口。只有当最高位为 1 时，才需要根据题目指定的码制继续解释。

4. 为什么补码能把减法变成加法

计算机硬件里，加法器比“既会加又会减的复杂电路”更容易统一设计。补码的目标就是把：

A - B

转成：

A + (-B 的补码)

看一个 4 位例子，计算 1 + (-1)：

+1 的补码：0001
-1 的补码：1111

  0001
+ 1111
------
1 0000

固定 4 位机器数只保留低 4 位，最高进位丢弃，结果就是 0000，也就是唯一的 0。这个设计带来两个结果：

• 减法可以交给加法器完成。
• 原来原码里的 -0 编码空间不再浪费，被用来表示最小负数。

所以 $N$ 位补码整数的范围不是对称的，而是：

$$-2^{N-1}\le x\le 2^{N-1}-1$$

8 位补码能表示 -128 到 +127，负数比正数多一个，就是因为 10000000 被定义为 -128。

5. 三位二进制小表：看清“人为定义”

课程里强调“补码、移码有些值是人为定义的”，可以用 3 位编码快速看清。

编码	原码真值	反码真值	补码真值	移码真值（按补码符号位取反口径）
000	+0	+0	0	-4
001	+1	+1	+1	-3
010	+2	+2	+2	-2
011	+3	+3	+3	-1
100	-0	-3	-4	0
101	-1	-2	-3	+1
110	-2	-1	-2	+2
111	-3	-0	-1	+3

这张表背后的规律比表本身重要：

• 原码、反码都有两个 0，因此可表示的不同真值只有 $2^N-1$ 个。
• 补码没有 -0，因此 $2^N$ 个编码全都对应不同真值。
• 移码把有符号范围平移成更利于大小比较的编码序列，常用于浮点数阶码。

6. 表示范围：先数编码，再看 0 是否重复

设字长为 $N$ 位，并且 $N$ 位已经包含符号位。

定点整数

码制	真值范围	可表示的不同真值个数	记忆抓手
原码	$-(2^{N-1}-1)\sim +(2^{N-1}-1)$	$2^N-1$	最高位表符号，数值位最大全 1；两个 0 重复
反码	$-(2^{N-1}-1)\sim +(2^{N-1}-1)$	$2^N-1$	和原码范围相同；两个 0 重复
补码	$-2^{N-1}\sim +(2^{N-1}-1)$	$2^N$	最小负数多一个；0 唯一
移码	$-2^{N-1}\sim +(2^{N-1}-1)$	$2^N$	与补码真值范围一致，编码顺序不同

定点小数

定点小数常默认小数点在符号位之后，例如：

符号位 . 数值位
  S   . b1 b2 b3 ... b(N-1)

码制	真值范围
原码/反码	$-(1-2^{-(N-1)})\sim +(1-2^{-(N-1)})$
补码/移码	$-1\sim +(1-2^{-(N-1)})$

整数和小数的范围最容易混。判断方法很简单：题目若说“定点整数”，小数点在最右边；题目若说“定点小数”或“尾数为纯小数”，小数点在符号位后面。

7. 读码题的标准步骤

进制转换和码制经常组合考。遇到十六进制机器数时，不要直接猜真值，按下面顺序做：

1. 十六进制先转二进制，1 位十六进制对应 4 位二进制。
2. 看题目说的是原码、反码、补码还是移码。
3. 看最高位。最高位为 0 时，多数情况下直接按正数读。
4. 最高位为 1 时，严格按对应码制还原。
5. 最后再把二进制绝对值转回十进制。

补码负数还原常用口诀：

看符号位为 1 → 判断为负数
对整个补码取反加 1 → 得到绝对值
真值 = -绝对值

移码题要看题干口径：如果给了偏置值，就用“真值 = 移码值 - 偏置”；如果按软考常见的“补码符号位取反”，就先把符号位翻回来当补码读。

8. 本节考点地图

题型	题干信号	解题动作
转换题	“求 -X 的原码/反码/补码/移码”	先写绝对值，再按负数规则逐步转换
读码题	“某机器数为 XXXX，采用补码表示”	先判符号位，再按补码还原真值
范围题	“字长 N 位，含符号位”	先选整数/小数，再选码制公式
综合题	“十六进制 + 补码/移码 + 真值”	十六进制转二进制，再读码
概念题	“哪种码适合运算/阶码比较”	运算选补码，阶码比较常选移码

🧪 例题（按难度）

简单（3题）

单选

在有符号数表示中，哪类码制会出现“+0”和“-0”两种编码？

A原码与反码B补码与移码C只有补码D只有移码

例题1（范围题）

单选

采用 N 位补码（含 1 位符号位）表示定点整数，可直接表示的真值范围是：

A-2^N ~ 2^N-1B-2^(N-1) ~ 2^(N-1)-1C-(2^(N-1)-1) ~ 2^(N-1)-1D-2^(N-1) ~ 2^(N-1)

单选

8 位补码表示的定点整数中，最小负数对应的编码是：

A0111 1111B0000 0000C1000 0000D1111 1111

中级（3题）

例题2（综合：进制 + 补码读码）

填空

若某 2X 的补码以十六进制给出为 90H（8位字长），求 X 的真值。

例题3（定点小数范围）

单选

9 位二进制定点小数（含 1 位符号位）用补码表示，则其真值范围是：

A-1 + 2^-8 ~ 1 - 2^-8B-1 ~ 1 - 2^-8C-1 ~ 1D-(1 - 2^-8) ~ 1

填空

将十进制 `-13` 表示为 8 位二进制补码（可用二进制或十六进制作答）。

困难（1题）

单选

在 8 位补码中计算：`0111 1111 + 0000 0001`。下列判断正确的是：

A无溢出，结果为 1000 0000（-128）B发生溢出（正数 + 正数 得到负数）C发生溢出（负数 + 负数 得到正数）D无溢出，结果为 0111 1111（127）

📚 本课小结

• 原码/反码：直观但存在 +0/-0，运算不友好
• 补码：计算机加减运算核心，范围更“满”（$-2^{N-1}$ 可取到）
• 移码：常用于浮点阶码，便于大小比较
• 高频考法：范围/个数 + 进制转换 + 读码（补码/移码）综合