8.1.4 PERT图-02

这一节进入 PERT 图的计算。考试中常见要求是：给一张网络图，求项目工期、关键路径、某活动的松弛时间。只要掌握“正推取最大，逆推取最小”，大多数题都能稳住。

单代号节点的时间格

单代号网络图中，节点本身代表活动。课程里使用类似九宫格的方式记录活动信息：

常用符号：

符号	含义	计算关系
ES	Earliest Start，最早开始时间	正推得到
EF	Earliest Finish，最早完成时间	$EF=ES+Duration$
LS	Latest Start，最迟开始时间	$LS=LF-Duration$
LF	Latest Finish，最迟完成时间	逆推得到
TF	Total Float，总时差/松弛时间	$TF=LS-ES=LF-EF$

正向分析：求最早时间

正推从起点开始，计算每个活动最早什么时候能开始、最早什么时候能完成。

规则：

1. 没有前驱的开始活动，最早开始通常为 0。
2. 活动最早完成：$EF=ES+\mathrm{持}\mathrm{续}\mathrm{时}\mathrm{间}$。
3. 某活动只有一个前驱时，它的最早开始等于前驱的最早完成。
4. 某活动有多个前驱时，必须等所有前驱完成，所以取前驱最早完成时间的最大值。

公式可写成：

$$E{S}_i=max(E{F}_{predecessors})$$

多前驱取最大值的原因很直观：如果一个活动要等 A、B 两个前驱都完成，而 A 第 7 天完成、B 第 13 天完成，那么它最早也只能第 13 天开始。

逆向分析：求最迟时间

逆推从终点开始，计算在不影响项目工期的前提下，每个活动最迟什么时候开始、最迟什么时候完成。

规则：

1. 最后活动的最迟完成通常等于项目工期。
2. 活动最迟开始：$LS=LF-\mathrm{持}\mathrm{续}\mathrm{时}\mathrm{间}$。
3. 某活动只有一个后继时，它的最迟完成等于后继的最迟开始。
4. 某活动有多个后继时，为了不耽误任何一个后继，取后继最迟开始时间的最小值。

公式可写成：

$$L{F}_i=min(L{S}_{successors})$$

多后继取最小值的原因也很清楚：如果后继 A 最迟第 28 天开始，后继 B 最迟第 23 天开始，当前活动必须第 23 天前完成，否则会耽误 B。

松弛时间与关键活动

松弛时间也叫总时差，表示活动可以延迟多久而不影响项目总工期。

$$TF=LS-ES=LF-EF$$

松弛时间	含义
0	不能延迟，是关键活动
大于 0	可以在该范围内延迟，不影响总工期

关键活动连接起来形成关键路径。关键路径可能不止一条，只要路径长度等于项目工期，它就是关键路径。

完整计算步骤

步骤	动作	关键规则
1	读图，确认活动持续时间和依赖	不要漏前驱/后继
2	正向推 ES、EF	多前驱取最大 EF
3	得到终点 EF，即项目工期	工期来自最长约束路径
4	反向推 LF、LS	多后继取最小 LS
5	计算 TF	$TF=LS-ES=LF-EF$
6	找关键活动和关键路径	TF 为 0 的活动构成关键路径

双代号网络图

双代号网络图中，节点表示事件或里程碑，箭线表示活动，活动持续时间标在箭线上。它的计算思想不变：仍然是正推最早时间、逆推最迟时间、再算松弛时间。

网络图类型	活动在哪里	时间在哪里	注意点
单代号	节点	节点格中	节点就是活动
双代号	箭线	箭线旁	节点是事件，箭线才是活动

考试读图时先判断活动到底在节点还是箭线上，避免把里程碑误当成活动。

例题

单选

关键活动的松弛时间通常为：

A0B1C活动持续时间D项目总工期

单选

正向计算某活动最早开始时间时，如果它有多个前驱，应：

A取前驱最早完成时间的最小值B取前驱最早完成时间的最大值C取所有前驱持续时间平均值D直接取0

本节小结

PERT 计算的核心规则是：正推最早时间，多前驱取最大；逆推最迟时间，多后继取最小。松弛时间用 $TF=LS-ES=LF-EF$，为 0 的活动是关键活动，关键活动连成关键路径。