3.5 关系代数

本课核心知识点整理

关系代数为什么要学

关系模式是二维表，关系代数就是在二维表之间做运算。它是 SQL 查询的理论基础，也是上午选择题的常考点。字幕提到，这部分常考 2 到 4 分，题型包括结果的属性个数、元组个数、自然连接与笛卡尔积的等价表达，以及查询语义翻译。

关系代数里有两个维度必须抓牢：

维度	关系术语	运算关注
垂直方向	属性列，属性个数称为目或度	投影、连接后的属性数
水平方向	元组行，一行是一条记录或一个实例	选择、并交差后的元组数

集合运算：并、交、差

并、交、差针对两个关系的元组集合做运算。前提是两个关系相容，即属性列结构一致，通常要求属性个数相同、对应属性的域相容。

运算	符号	语义	元组结果
并	$R\cup S$	属于 R 或属于 S	去重后的合并
交	$R\cap S$	同时属于 R 和 S	公共元组
差	$R-S$	属于 R 但不属于 S	R 中排除 S 的部分

如果 S1 有学生 001,003,004，S2 有学生 001,008,021：

$$S1\cup S2=\{001,003,004,008,021\}$$$$S1\cap S2=\{001\}$$$$S1-S2=\{003,004\}$$

注意并集不重复记录相同元组，这是关系模型作为集合的基本特征。

专门的关系运算：选择、投影、连接

选择：横向筛选行

选择用 $\sigma$ 表示，按条件筛选元组：

$${\sigma }_{\text{年龄}>20}(\text{学生})$$

它保留满足条件的行，属性列不变。自然语言中“找出满足……条件的记录”通常对应选择。

投影：纵向选取列

投影用 $\pi$ 表示，选取指定属性：

$${\pi }_{\text{学号},\text{姓名}}(\text{学生})$$

它保留指定列，元组可能因为去掉区分属性而出现重复，关系代数结果通常按集合去重。自然语言中“只显示……字段”通常对应投影。

笛卡尔积：两表元组两两组合

笛卡尔积用 $R\times S$ 表示。若：

$$|R|=r,|S|=s,degree(R)=m,degree(S)=n$$

则：

$$|R\times S|=r\times s,degree(R\times S)=m+n$$

它会把两个关系的每一行两两拼接，结果通常很大，实际查询中会再配合选择条件过滤。

连接：带条件的组合

连接可以理解为“先做笛卡尔积，再按连接条件选择”。例如：

$$R{\bowtie }_{R.A=S.A}S={\sigma }_{R.A=S.A}(R\times S)$$

自然连接会自动按同名属性相等进行连接，并且同名属性只保留一份。若 R 有 m 个属性，S 有 n 个属性，二者有 k 个同名连接属性，则自然连接结果的属性数通常为：

$$degree(R\bowtie S)=m+n-k$$

查询翻译的顺序

把自然语言翻译成关系代数时，可以按“来源、条件、输出”三步：

查询语义	关系代数动作
数据来自一张表	直接从该关系开始
数据来自多张表	先连接或笛卡尔积加选择
要满足某条件	用选择 $\sigma$
只需要部分字段	最后用投影 $\pi$
要求 A 有而 B 没有	用差 $-$

例如“查询选修了 C01 课程的学生姓名”，思路不是先投影姓名，而是先把学生和选课按学号连接，筛选课程号，再投影姓名：

$${\pi }_{\text{姓名}}({\sigma }_{\text{课程号}{=}^{\prime }C{01}^{\prime }}(\text{学生}\bowtie \text{选课}))$$

做题路线

1. 先判断运算是否要求关系相容。并、交、差必须相容，笛卡尔积和连接不要求同结构。
2. 计算属性数时记住：投影会减少列，选择不改变列，笛卡尔积列数相加，自然连接同名列合并。
3. 计算元组数时记住：选择会减少或不变，投影可能去重，笛卡尔积为两表行数相乘。
4. 翻译查询时通常先连接数据来源，再选择条件，最后投影输出列。

例题

单选

从学生表中找出“年龄大于 20”的记录，主要使用：

A选择B投影C并D差

单选

只取学生表中的“学号、姓名”两列，主要使用：

A选择B差C投影D笛卡尔积

自查要点

1. 选择和投影的区别是什么？
2. 连接一般用于什么场景？
3. 并、交、差为什么要求关系相容？